题目内容
已知椭圆C1：
（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：
=1右支x轴上方的一点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于点D．（1）若a=2b，求椭圆C1及双曲线C2的离心率；
（2）若△ACD和△PCD的面积相等，求点P的坐标（用a，b表示）．
【答案】分析：（1）根据a=2b，结合椭圆中，
，双曲线中，
，即可求得椭圆C1及双曲线C2的离心率；
（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x1，y1），根据△ACD和△PCD的面积相等，可得
，
，分别代入椭圆、双曲线方程，联立方程，即可求得点P的坐标．
解答：解：（1）∵a=2b，∴在椭圆C1：
（a＞b＞0）中，
∴椭圆C1的离心率为
；
在双曲线C2中，
，
∴双曲线C2的离心率为
；
（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x1，y1）
由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面积相等，
∴|AC|=|PC|
∴
，
代入椭圆C1：
得
①
∵P（x，y）是双曲线C2：
=1右支x轴上方的一点，
∴
②
②代入①化简可得
∴x=2a或-a（舍去）
∴
∴点P的坐标为（2a，
b）．
点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，解题的关键是利用△ACD和△PCD的面积相等，寻求坐标之间的关系．
，双曲线中，，即可求得椭圆C1及双曲线C2的离心率；（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x1，y1），根据△ACD和△PCD的面积相等，可得
，，分别代入椭圆、双曲线方程，联立方程，即可求得点P的坐标．解答：解：（1）∵a=2b，∴在椭圆C1：
（a＞b＞0）中，∴椭圆C1的离心率为
；在双曲线C2中，
，∴双曲线C2的离心率为
；（2）设P、C的坐标分别为（x，y），（x1，y1）
由题意知A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）
∵△ACD和△PCD的面积相等，
∴|AC|=|PC|
∴
，代入椭圆C1：
得①∵P（x，y）是双曲线C2：
=1右支x轴上方的一点，∴
②②代入①化简可得
∴x=2a或-a（舍去）
∴
∴点P的坐标为（2a，
b）．点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，解题的关键是利用△ACD和△PCD的面积相等，寻求坐标之间的关系．
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