Question

（2011•徐州模拟）设函数f（x）=x²-alnx与g（x）=

1

a

x-

x

的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切
线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；        
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a=

1

2

时，不等式f（x）≥m．g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：1）求出函数f（x）和g（x）的导函数并求出它们在x=1的导数值，由导数值相等求出a的值则两个函数的解析式可求；
（2）把a=2代入两个函数解析式，求出函数h（x），求导后把导函数进行因式分解，然后由x=1对定义域分段，求出导函数在两段内的符号，判出单调性，从而求得函数h（x）的最小值；
（3）把a=

1

2

分别代入函数f（x）和g（x）的解析式，分别求出导函数后判断各自导函数在x∈[

1

4

，

1

2

）上的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，进一步得到函数f（x）在x∈[

1

4

，

1

2

）上的最小值和函数g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

）上上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分离参数m后求出

f(x)

g(x)

的最小值，则实数m的取值范围可求．

解答：解：（1）由f（x）=x²-alnx，得f′（x）=

2x2-a

x

，所以f′（1）=2-a．
由g（x）=

1

a

x-

x

，得g′（x）=

2 x -a

2a x

，所以g′（1）=

2-a

2a

．
又由题意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

所以当a=2时，f（x）=x²-2lnx，g（x）=

1

2

x-

x

；
当a=

1

2

时，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
（2）当a＞1时，a=2，h（x）=f（x）-g（x）=x²-2lnx-

1

2

x+

x

，
函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
h′（x）=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2 x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x -1

2 x

=（

x

-1）[

4(x x + x +x+1)- x

2x

]．
由x＞0，得

4(x x + x +x+1)- x

2x

＞0，
故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．
（3）当a=

1

2

时，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
当x∈[

1

4

，

1

2

）上时，f′（x）=

4x2-1

2x

＜0，f（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上为减函数
f（x）≥f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

ln2＞0，
当x∈[

1

4

，

1

2

）上时，由g′（x）=

4 x -1

2 x

＞0，
g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上为增函数，g（x）≤g（

1

2

）=1-

2

2

，且g（x）≥g（

1

4

）=0
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]]上恒成立，当x=

1

4

时，m为任意实数；
当x∈（

1

4

，

1

2

]]时，不等式f（x）≥m•g（x）化为m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

2+ 2

4

ln4e．
所以m≤

2+ 2

4

ln4e
所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的实数m的取值范围为（-∞，

2+ 2

4

ln4e]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，训练了利用分离变量求参数的取值范围，考查了学生的运算能力，在分类讨论时，此题对细节的分类要求较高，属难度较大的题目．