Question

已知函数 f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）的单调区间．
（2）设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′(x)=

1

x

-2（x＞0），则f′（1）=-1，f（1）=-2
∴切线方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
f′(x)=

1

x

-2（x＞0），
令f′(x)=

1

x

-2＞0，得0＜x＜

1

2

；令f′(x)=

1

x

-2＜0，得x＞

1

2

故函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)，单调减区间是[

1

2

，+∞)．
（2）①当

1

a

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②当

1

a

≥2，即a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在[1，

1

a

]上是增函数，在[

1

a

，2]是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当

1

2

＜a＜ln2时，最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．
即g(a)=

-a，…0＜a＜ln2 ln2-2a，…a≥ln2

（14分）