Question

【题目】（1）当时，求证：；

（2）当函数与函数有且仅有一个交点，求的值；

（3）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当或时，函数有两个零点，当时，函数有四个零点，当时，函数没有零点.

【解析】

试题分析：（1）构造函数，分别利用导数求得函数的最小值和的最大值，由此证得不等式成立；（2）当函数与函数有且仅有一个交点,构造函数，利用导数判断的单调区间，由此求得；（3）令，对分成，，，四类，利用导数求得函数的零点个数.

试题解析：

（1）令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

∴，同理可证，故得证．．．．．．．．．．．．．4分

（2）令，令，则在上单调递减，在上单调递增，

，使，当时，

；，

当时，，∴．8分

（3）令是偶函数，，时，，由（2）知，当时，函数，有两个零点；

，当时，，

所以函数 ，有两个零点；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，当时，

，所以，函数，有四个零点；当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，函数，没有零点．

综上所述，当或时，函数，有两个零点；当时，函数有四个零点；当时，函数没有零点．．．．．．．．．．．．．．．．．12分