Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前3个记分）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 要证平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；应通过证出MN⊥平面BB₁D₁D而实现．又可通过证明BB₁⊥MN，MN⊥BD 而得出．
 （Ⅱ）按照要求画出即可．
解答：解：（Ⅰ）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴BB₁⊥MN．连接AC，
∵M、N分别为AB、BC的中点．
∴MN∥AC．
又四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，
∵BD∩BB₁=B，
∴MN⊥平面BB₁D₁D；
又MN?平面B₁MN，
∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
 （Ⅱ） 符合要求的还有如下五个．

点评：本题考查面面垂直的判定，几何体侧面展开图，考查空间想象能力、推理、论证能力．