Question

（本题满分15分）已知函数．
（I）求证：在上单调递增；
（Ⅱ）函数有三个零点，求值；
（Ⅲ）对恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（I）函数在上单调递增。证明略
（Ⅱ） 
（Ⅲ）。

解：（I），
由于，故尝时，，所以，
故函数在上单调递增。
（Ⅱ）令，得到，
因为函数 有三个零点，所以有三个根，
因为当时，，所以，故  
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，
  
记则（仅在时取到等号），
所以递增，故，
所以 ，    于是
故对
，所以。