Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，右准线方程为
x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程式．

Answer 1

解：（1）由题意，∵椭圆离心率为，右准线方程为x=2．
∴，
∴a=，c=1
∴b²=a²﹣c²=1
∴椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，（﹣1，0），（1，0）
若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=﹣1，
将x=﹣1代入椭圆方程可得y=不妨设M（﹣1，），N（﹣1，），
∴
∴，与题设矛盾，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）
设M（，），N（，），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k²）+4k²x+2k²﹣2=0
∴+=，
∴+=k（++2）=
∴
∴=+
==
∵
∴
∴40k⁴﹣23k²﹣17=0
∴k²=1（负值舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1．