Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．

(Ⅰ)求的极值；

(Ⅱ) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ) ，

．     

当时，．  

当时，，此时函数递减； 

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为．

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即

．     

由，可得当时恒成立．

，                             

由，得． 

下面证明当时恒成立．

令，则

， 

当时，．

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴当时，取极大值，其极大值为．   

从而，即恒成立．            

∴函数和存在唯一的隔离直线．

解法二： 由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得

和恒成立，

令，则且

，即．                 

后面解题步骤同解法一．