Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）数列{b_n}的前n项和为S_n，其中b1=-

3

2

，bn+1=-

2

3

Sn(n∈N+).
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，求Tn的表达式．

Answer 1

（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴数列{a_n}是等差数列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-

2

3

S_n∴b_n=-

2

3

S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-

2

3

bn，∴bn+1= 

1

3

bn
又∵b₂=-

2

3

S₁=1

b2

b1

=-

2

3

≠

1

3

∴数列{b_n}从第二项开始是等比数列，
∴bn=

- 3 2 ，(n=1) ( 1 3 )n-2，(n≥2)

（6分）
（2）∵n≥2时

an

bn

=(2n-1)•3n-2（7分）∴Tn=

a1

b1

+

a2

b2

++

an

bn

=-

2

3

+3×30+5×31+7×32++(2n-1)×3n-2
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
错位相减并整理得Tn=-

2

3

+(n-1)×3n-1．（12分）