Question

．（本小题12 分）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点.

①求证：EF⊥平面PCD；

②求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2)

【解析】解：①证明：取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD

故以OA为轴

OP为轴建立空间直角坐标系（如图所示） ……1分

设，

则，，，，

故可求得：，                      ……3分

∴，，

∵，

∴，   ∴平面

∴平面                  ……6分

②设平面的一个法向量为，则

 ，取     ……8分

为平面的一个法向量，                                    ……9分

故                ……11分

故平面与平面的夹角余弦值为                     ……12分