题目内容
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在抛物线C上运动．
（1）当点A，P满足
=-2
，求动点P的轨迹方程；
（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R+，点A到M的距离记为d，求d的最小值．
（1）当点A，P满足
| AP |
| FA |
（2）设M（m，0），其中m为常数，m∈R+，点A到M的距离记为d，求d的最小值．
分析：（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由
=-2
，得出P点和A点的关系，利用代入法求动点P的轨迹方程；
（2）表示出点A到M的距离，利用配方法，结合m的范围，即可得到结论．
| AP |
| FA |
（2）表示出点A到M的距离，利用配方法，结合m的范围，即可得到结论．
解答：解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则
=（x-xA，y-yA），
因为F的坐标为（1，0），所以
=（xA-1，yA），
因为
=-2
，所以（x-，y-yA）=-2（xA-1，yA）．
所以x-xA=-2（xA-1），y-yA=-2yA，
所以xA=2-x，yA=-y
代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x；
（2）由题意，d=
=
=
∴m-2≤0，即0＜m≤2，xA=0时，dmin=m；
m-2＞0，即m＞2，xA=m-2时，dmin=-4-4m．
| AP |
因为F的坐标为（1，0），所以
| FA |
因为
| AP |
| FA |
所以x-xA=-2（xA-1），y-yA=-2yA，
所以xA=2-x，yA=-y
代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x；
（2）由题意，d=
| (m-xA)2+yA2 |
| (m-xA)2+4xA |
| (xA+2-m)2-4-4m |
∴m-2≤0，即0＜m≤2，xA=0时，dmin=m；
m-2＞0，即m＞2，xA=m-2时，dmin=-4-4m．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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