Question

已知函数f（x）=x²-mlnx+（m-1）x，m∈R；
（1）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）讨论f（x）的单调性。

Answer 1

解：（1）m=2，f（x）=定义域

当0＜x＜1时，＜0
∴f（x）在（0，1）上单调递减
当x＞1，＞0
f（x）在（1，+∞）上单调递增
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为；
（2）
∵x>0
①当m≥0，x+m>0
当0＜x＜1，f'（x）<0
∴f（x）单调减区间是（0，1），单调增区间（1，+∞）；
②当-1＜m＜0时，0＜-m＜1
当x∈（0，-m），f'（x）>0
当x∈（-m，1），f'（x）<0
当x∈（1，+∞），f'（x）>0
∴f（x）增区间是（0，-m），（1，+∞），减区间是（-m，1）
③当m=-1时，恒成立
∴f（x）单调增区间（0，+∞）；
④当m＜-1时，
当x∈（0，1），f'（x）>0，
当x∈（1，-m），f'（x）<0
当x∈（-m，+∞），f'（x）>0
∴f（x）单调递增区间（0，1），（-m，+∞），单调递减区间（1，-m）。