Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2．
（Ⅰ）分别求c，d的值；
（Ⅱ）试研究曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的条数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），知f′（x）=3x²+2bx+c，由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2，知

f(0)=d=2 f′(0)=c=0

，由此能求出结果．
（Ⅱ）由f（x）=x³+bx²+2，知f′（x）=3x²+2bx，由曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的切线的斜率k=f′（x）=3x²+2bx=-b，分类讨论能够求出结果．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处取到极值2，
∴

f(0)=d=2 f′(0)=c=0

，
故c=0，d=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³+bx²+2，
f′（x）=3x²+2bx，
曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的切线的斜率
k=f′（x）=3x²+2bx=-b，
△=4b²-12b=4b（b-3），
①当b＞3或b＜0时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的有2条；
②当b=3时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的有1条；
③当0＜b＜3时，曲线y=f（x）的所有切线中与直线y=

1

b

x+1的垂直的有0条．

点评：本题考查函数的极值的性质的应用，考查导数的几何性质及其应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．