题目内容

数列{an}满足
1
an+1
-
1
an
=d（{常数}），则称数列{an}为调和数列．已知{
1
xn
}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x1+x20=
 
．
分析：由调和数列的定义知，若{
1
xn
}为调和数列，则{xn}成等差数列，由此利用等差数列的前n项和公式和通项公式能求出结果．
解答：解：∵数列{an}满足
1
an+1
-
1
an
=d（{常数}），
则称数列{an}为调和数列，
{
1
xn
}为调和数列，
∴{xn}成等差数列，
设数列{xn}是首相为x1，公差为d的等差数列，
∵x1+x2+…+x20=200，
∴20x1+
20×19
2d
=20x1+190d=200，
x1+x20=2x1+19d=
20x1+190d
10
=20．
故答案为：20．
点评：本题考查新定义的理解和数列求和的应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
x2+1
-1
x
(x＞0)数列{an}满足a1=a＞0且an=f-1（an+1），
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）求证：an≤(
1
2
)n-1a；
（3）若a=1试比较an与2-n的大小．
已知函数f(x)(x∈R，x≠
1
a
)满足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列an满足a1=
2
3
，an+1=f(an)，bn=
1
an
-1，n∈N+，证明数列bn是等比数列，并求出bn的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a1b1+a2b2+…+anbn＜1，n∈N+．
已知函数f(x)=
2x+1
x+2
(x≠-2，x∈R)，数列{an}满足a1=a（a≠-2，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=2时，记bn=
an-1
a n+1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
已知f(x)(x∈R，x≠
1
a
)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{an}满足：a1=
2
3
，an+1=f(an)，bn=
an
1-an
(n∈N*)，证明：{bn}为等比数列．
（3）在（2）的条件下，若cn=
1
bn+(-1)n
(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求证：Sn＜
3
2
(n∈N*)．
已知函数f(x)(x∈R，x≠
1
a
)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=
2
3
，an+1=f（an），bn=
an
1-an
，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式．

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