Question

【题目】设椭圆的左、右顶点分别为，，且左、右焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点.直线与椭圆的另一交点为，直线与直线交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，试求直线的方程；

（3）如果，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得椭圆方程；

（2）由题意首先求得点D的坐标，进一步求得点G的坐标，由直线垂直的充分必要条件可得直线的斜率，据此即可求得直线方程；

（3）由题意，联立方程求得点H,点P的坐标，然后利用向量的坐标运算得到关于直线斜率k的表达式，最后由函数的单调性可得的取值范围.

（1）由定义，解得：.

椭圆方程为. ①

（2）设直线， ②

则与直线的交点.

又，所以设直线，

由解得，

则直线得斜率为，③

因为，故，又，解得，

则直线得方程为.

（3）由（2）中③知，设直线，

由解得，

联立①②，解得，

因为，所以，则，

，

因为在为减函数，所以.