Question

如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长）．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S₁与种花的面积S₂的比值

S1

S2

称为“草花比y”．
（Ⅰ）设∠DAB=θ，将y表示成θ的函数关系式；
（Ⅱ）当BE为多长时，y有最小值，最小值是多少．

Answer 1

分析：（1）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；
（2）由于式子“y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1”括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为BD=atanθ，
所△ABD的面积为

1

2

a2tanθ（θ∈(0，

π

2

)） （2分）
设正方形BEFG的边长为t，则由

FG

AB

=

DG

DB

，
得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

，（4分）
解得t=

atanθ

1+tanθ

，则S2=

a2tan2θ

(1+tanθ)2

（5分）
所以S1=

1

2

a2tanθ-S2，
则y=

s1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1（8分）
（Ⅱ）因为tanθ∈（0，+∞），所以
y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1（10分）
当且仅当tanθ=1，时取等号，此时BE=

a

2

．
所以当BE长为

a

2

时，y有最小值1．（12分）

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．