Question

(1)求右焦点坐标是，且经过点的双曲线的标准方程；

(2)已知双曲线C的方程是(a，b＞0)．设斜率为k的直线l，交双曲线C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；

(3)利用(2)所揭示的双曲线几何性质，用作图方法找出下面给定双曲线的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出双曲线的中心．

Answer 1

答案：
解析：

[解](1)设双曲线的标准方程为，， 　　∴，即双曲线的方程为， 　　∵点在双曲线上，∴， 　　解得或(舍)， 　　由此得，即双曲线的标准方程为．　　5分 　　(2)设直线的方程为，　　6分 　　与双曲线的交点()、()， 　　则有， 　　解得， 　　∵，∴，即． 　　则， 　　∴中点的坐标为．　　10分 　　∴线段的中点在过原点的直线上．　　11分 　　注：本题用点差法求解更好．如上将A、B点坐标代入双曲线方程得， 　　，两式相减得(※)，设中点坐标为(x，y)，又，代入(※)式整理得， 　　∴线段的中点在过原点的直线上． 　　(3)如图，作两条平行直线分别交双曲线于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交交双曲线于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为交双曲线中心．