Question

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线，则用t表示c为

c=-t³

．

Answer 1

分析：函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），先将（t，0）代入两个函数求出a、b、c的关系，再利用两函数的导数在x=t处的导函数值相同便可求出a、b、c与t的关系．

解答：解：因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），
所以f（t）=0，
即t³+at=0．因为t≠0，所以a=-t²．
g（t）=0，即bt²+c=0，所以c=ab．
又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，
所以f′（t）=g′（t）．
而f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，所以3t²+a=2bt．
将a=-t²代入上式得b=t．因此c=ab=-t³．
故答案为c=-t³．

点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．