Question

（2013•西城区二模）已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n．证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b_n+1-b_n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．

解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a_n}的公比为q，依题意 q＞0．
∵a₂=8，a₃+a₄=48，∴a₁q=8，a1q2+a1q3=48．
两式相除得 q²+q-6=0，
解得 q=2，舍去 q=-3．
∴a1=

a2

q

=4．
∴数列{a_n}的通项公式为 an=a1•qn-1=2n+1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 bn=log4an=

n+1

2

．
∵bn+1-bn=

n+2

2

-

n+1

2

=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为d=

1

2

的等差数列．
∴Sn=nb1+

n(n-1)

2

d=

n2+3n

4

．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．