Question

（2013•西城区二模）已知函数f(x)=

2

3

x3-2x2+(2-a)x+1，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f^′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x²-4x+2-a．
当a=2时，f(1)=

2

3

-2+1=-

1

3

，f'（1）=2-4=-2，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y+

1

3

=-2(x-1)，
即 6x+3y-5=0．
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，
令 f'（x）=0，得 x1=1-

2a

2

，或x2=1+

2a

2

．f（x）和f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的单调增区间为(-∞， 1-

2a

2

)，(1+

2a

2

，+∞ )；单调减区间为(1-

2a

2

，1+

2a

2

)．
①当0＜a≤2时，x₂≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f(2)=

2

3

×23-2×22+(2-a)×2+1=

7

3

-2a．
②当2＜a＜8时，x₁＜2＜x₂＜3，此时f（x）在区间（2，x₂）上单调递减，在区间（x₂，3）上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f(x2)=

2

3

×(1+

2a

2

)3-2×(1+

2a

2

)2+(2-a)(1+

2a

2

)+1=

5

3

-a-

a 2a

3

．
③当a≥8时，x₁＜2＜3≤x₂，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）=

2

3

×33-2×32+(2-a)×3+1=7-3a．
综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是

7

3

-2a；
当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是

5

3

-a-

a 2a

3

；
当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7-3a．

点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．