Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，且C的焦点到其渐近线的距离为

2

，过点E（1，0）且倾斜角为锐角的直线l交C于A、B两点．
（I）求双曲线C的方程；
（II）若

EA

=t

EB

，且1＜t＜3，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为

2

，求出b，再由两条渐近线互相垂直，求得a=b=

2

，从而得到双曲线C的方程．
（II） 把直线l的方程代入圆的方程，应用判别式大于0及根与系数的关系，结合

EA

=t

EB

，得到 

4

k2-1

=t+

1

t

+2，由t的范围求出

4

k2-1

的范围，进而得到k的范围．

解答：解：（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为

2

，
得

2

=

|bc-0|

a2+b2

，b=

2

．
∵两条渐近线互相垂直，∴a=b=

2

，
∴双曲线C的方程为  x²-y²=2．
（II）设直线l   y=k（x-1），A（ x₁，y₁），B （ x₂，y₂），
由

y = k(x -1) x2-y2 = 2

 得（1-k²）y²+2ky-k²=0，∴△=4k²-4（1-k²）（-k²）＞0，
再由倾斜角为锐角知，0＜k＜

2

且 k≠1．
 y₁+y₂=

2k

k2-1

，y₁•y₂=

k2

k2-1

，
∵

EA

=t

EB

，∴（ x₁-1，y₁）=t（x₂-1，y₂），∴y₁=ty₂．
∴（1+t）y₂=

2k

k2-1

，t y₂²=

k2

k2-1

，消去y₂得 

4

k2-1

=t+

1

t

+2．
∵1＜t＜3，∴4＜

4

k2-1

＜

16

3

，∴

7

4

＜k²＜2． 又0＜k＜

2

  且 k≠1，
∴

7

2

＜k＜

2

，
故直线l斜率的取值范围为（

7

2

，

2

）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由t的范围求出

4

k2-1

的范围，进而得到k的范围，‘是解题的关键和难点．