Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q
（1）若m，n∈N^*，证明：Sm+n=Sn+qn•Sm；
（2）若S_n、S_n+2、S_n+1依次成等差数列，求公比q的值．

Answer 1

（1）证明：若q=1，则Sm+n=(m+n)a1，Sn+qn•Sm=na1+ma1，
∴Sm+n=Sn+qn•Sm
若q≠1，则S_m+n=S_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+m=Sn+qn(a1+a2+…+am)=Sn+qn•Sm
综上，Sm+n=Sn+qn•Sm；
（2）∵S_n、S_n+2、S_n+1依次成等差数列，
∴2S_n+2=S_n+S_n+1，
∴S_n+2-S_n+1=S_n-S_n+2，
∴qn+1S1=-qnS2
∴2q=-1
∴q=-

1

2

．