题目内容

设公比为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=8，S₂=48，数列{b_n}满足b_n=4log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求正整数m的值，使得 $数学公式$ 是数列{b_n}中的项．

解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，则有 $\text{[math]}$ ，解得 q= $\text{[math]}$ ，或q=- $\text{[math]}$ （舍）．
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（4分）
$\text{[math]}$ ．…（6分）
即数列{a_n}和{b_n}的通项公式为 $\text{[math]}$ ，b_n=-4n+24．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ ，令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以 $\text{[math]}$ ，…（10分）
如果 $\text{[math]}$ 是数列{b_n}中的项，设为第m₀项，则有 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 为
小于等于5的整数，
所以t∈{-2，-1，1，2}．当t=1或t=2时， $\text{[math]}$ ，不合题意；当t=-1或t=-2时， $\text{[math]}$ ，符合题意．
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时， $\text{[math]}$ 是数列{b_n}中的项．…（14分）
分析：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，由a₃=8，S₂=48求出q的值，进而求出首项，从而求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）化简 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，令t=4-m（t≤3，t∈Z），则 $\text{[math]}$ 化为 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ 是数列{b_n}中的项，设为第m₀项，则有 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 为小于等于5的整数，由此求得正整数m的值．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．