Question

设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通项a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数a_n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a₁+…+a₆+a₇²+…+a_m²＞ma₁a₂a_m．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的性质，用a₁、d表示出a₂₀₀₉、a₂₀₀₈，结合已知，列方程即可解出a₁、d，进而求出a_n．
（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．

解答：解：（I）因a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比为d的等比数列，
从而a₂₀₀₉=a₁d，a₂₀₀₈=a₁d²，
由S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁得a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=12a₁，
解得d=3或d=-4（舍去）．
∴d=3，
又S₃=3a₁+3d=15．解得a₁=2
从而当n≤1005时，a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
当1006≤n≤2009时，由a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比为d的等比数列
得a_n=a₁d^{2009-（n-1）}=a₁d^2010-n（1006≤n≤2009）
因此an=

3n-1，n≤1005 2•32010-n，1006≤n≤2009

（II）由题意a_n²=a_n-1²a_n+1²（1＜n＜m），a_m²₌a_m-1²a₁²，a₁²=a_m²a₂²
得

an=an-1an+1(1＜n＜m)，① am=am-1a1② a1=ama2③

有①得a3=

a2

a1

，a4=

1

a1

，a5=

1

a2

，a6=

a1

a2

④
由①，②，③得a₁a₂a_n=（a₁a₂a_n）²，
故a₁a₂a_n=1．⑤
又ar+3=

ar+2

ar+1

=

ar+1

ar

•

1

ar+1

=

1

ar

(1≤r≤m-3)，
故有ar+6=

1

ar+3

=ar(1≤r≤m-6)．⑥
下面反证法证明：m=6k
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由⑥得a_m=a_6k+1=a₁，
而由③得am=

a1

a2

，故a1=

a1

a2

，
得a₂=1，由②得am-1=

am

a1

，从而a6=a6k=am-1，
而a6=

a1

a2

，故a1=a2=1，由④及⑥可推得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得a_n=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数
由均值不等式得a1+a2+a3++a6=(a1+

1

a1

)+(a2+

1

a2

)+(

a2

a1

+

a1

a2

)≥6
由上面三组数内必有一组不相等（否则a₁=a₂=a₃=1，
从而a₄=a₅═a_m=1与题设矛盾），故等号不成立，
从而a₁+a₂+a₃++a₆＞6又m=6k，由④和⑥得
a₇²++a_m²=（a₇²++a₁₂²）++（a_6k-5²++a_6k²）
=（k-1）（a₁²++a₆²）
=(k-1)(

a

2 1

+

1

a 2 1

+

a

2 2

+

1

a 2 2

+

a

2 3

+

1

a 2 3

)≥6(k-1)
因此由⑤得a₁+a₂+a₃++a₆+a₇²++a_m²＞6+6（k-1）=6k=m=ma₁a₂a₃a_m

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、性质及方程、解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力．