Question

【题目】数列的前项和为，若存在正整数，且，使得，同时成立，则称数列为“数列”.

（1）若首项为，公差为的等差数列是“数列”，求的值；

（2）已知数列为等比数列，公比为.

①若数列为“数列”，，求的值；

②若数列为“数列”，，求证：为奇数，为偶数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②证明见解析

【解析】

（1）根据题意，以及“数列”的概念，得到，求解，即可得出结果；

（2）①根据数列为“数列”，得到，再由，即可得出结果；

②根据数列为“数列”，得到，令，分别讨论：为偶数；为偶数，为奇数；为奇数三种情况，结合导数的方法进行处理，即可得出结果.

解：（1）若首项为，公差为的等差数列是“数列”，

由题意可得，，解得：；

（2）①若数列为“数列”，则，

又，

所以或；

②若数列为“数列”，则，

令，

若为偶数，则，不符合题意；

若为偶数，为奇数，不符题意；

若为奇数，，

则，

令，，则，

所以在上单调递减，在上单调递增；

∴

即单调增，与题意不符；

综上为奇数，为偶数.