Question

以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有

 

个．（请用数字作答）

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：计算题,排列组合

分析：根据题意，结合四点共面的情况分3种情况讨论：①、上底面中取3个点，下底面取1个点，②、上底面中取1个点，下底面取3个点，③、上底面中取2个点，下底面取2个点，分别求出每种情况下四面体的个数，由加法原理计算可得答案．

解答： 解：根据题意，如图分3种情况讨论：
①、上底面中取3个点，下底面取1个点，
共有C₅³×C₅¹=50个四面体，
②、上底面中取1个点，下底面取3个点，
共有C₅¹×C₅³=50个四面体，
③、上底面中取2个点，下底面取2个点，
共有C₅²×C₅²=100种情况，
其中共面的有3种情况：a、5个侧面，b、5个对角面，c、10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面，如平面ACD′B′，
此时可以组成四面体100-5-5-10=80个；
综合可得：一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有50+50+80=180个：
故答案为180．

点评：本题考查排列、组合的应用，注意4点共面包括“10个底面五边形对角线与相对底面与之平行的边确定的平面”