Question

设a,b∈(0,+∞)且=1，求证：对于任何n∈N^*,有(a+b)ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹成立.

Answer 1

证明:①n=1时，原不等式显然成立；

②设n=k时原不等式成立，

即（a+b）^k-a^k-b^k≥2^2k-2^k+1,

则n=k+1时，（a+b）^k+1-a^k+1-b^k+1

=(a+b)［(a+b)^k-a^k-b^k］+ab^k+a^kb≥(a+b)(2^2k-2^k+1)+ab^k+a^kb,

由1=≥,可得ab≥4,a+b≥≥4.

∴ab^k+a^kb≥2=2^k+2.

∴(a+b)^k+1-a^k+1-b^k+1≥(a+b)(2^2k-2^k+1)+ab^k+a^kb≥4(2^2k-2^k+1)+2^k+2=2^2(k+1)-2^(k+1)+1,

即n=k+1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N^*原不等式成立.