Question

已知两点M(－2，0)，N(2，0)，动点P(x，y)在y轴上的射影为H，||是2和的等比中项．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x＋y＝1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)动点为P(x，y)，则H(0，y)，＝(－x，0)，＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)， 　　∴·＝x2－4＋y2，且｜|2＝x2．由题意得||2＝2·，即x2＝2(x2－4＋y2)，∴为所求点P的轨迹方程． 　　(2)若直线x＋y＝1与双曲线C右支交于点Q时，而N(2，0)关于直线x＋y＝1的对称点E(1，－1)，则|QE|＝|QN|， 　　∴双曲线C的实轴长2a＝||QM|－|QN||＝||QM|－|QE||≤|ME|＝(当且仅当Q、E、M共线时取“＝”)，此时，实轴长2a最大为； 　　若直线x＋y＝1与双曲线C左支交于点Q时，同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为． 　　所以，双曲线C的实半轴长a＝． 　　又∵c＝|MN|＝2，∴b2＝c2－a2＝． 　　故双曲线方程为．