Question

【题目】已知函数

若时，求函数的单调区间；

若，则当时，函数的图像是否总存在直线上方？请写出判断过程．

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递增；在上单调递减. (2)见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间（2）先利用导数确定函数在上的单调性: 在递增，在递减，得最小值为，再转化求证,构造函数,利用导数易得函数先减后增,其最小值大于零

试题解析：解：（1）函数定义域为，

则即

令时，

则当和时

当时

所以函数在上单调递增；在上单调递减.

（2）由已知得，则

当时， 在递增，在递减，令，

当时， ， ，

∴函数图象在图象上方；

当时，函数单调递减，

∴其最小值为， 最大值为m+1，

∴下面判断与m+1的大小，

即判断与的大小，其中，

令， ，

令，则，

∵，所以， 单调递增；

∴, ，

故存在使得，

∴在上单调递减，在上单调递增

∴，

∴时， ，

即也即，

∴函数的图象总在直线上方．