Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上的点P满足∠F₁PF₂=60°，且|OP|=

7

a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（　　）

• A．2
• B．

  2 3

  3

• C．

  3

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：假设|F₁P|=x，分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率．

解答：解：不妨设P在左支上，|F₁P|=x，则|F₂P|=2a+x
∵OP为三角形F₁F₂P的中线，∴根据三角形中线定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
进而可知c²+5a²=14a²-2c²
∴3a²=c²
∴e=

c

a

=

3

故选C．

点评：本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．