Question

【题目】已知函数，，在处的切线方程为

（1）若，证明：；

（2）若方程有两个实数根，，且，证明：

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得的解析式，令，求得导数和单调性，即可得证；

Ⅱ设在处的切线方程为，可得，令，求得导数和单调性，运用函数方程的转化，以及函数的单调性的运用，即可得证．

Ⅰ由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故，；

可知，，，由，可得，

令，，

当时，，

当时，设，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，即，

故；

Ⅱ设在处的切线方程为，

易得，，令，

即，，

当时，，

当时，设，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故F，，

设的根为，则，

又函数单调递减，故，故，

设在处的切线方程为，易得，

由Ⅰ得，设的根为，则，

又函数单调递增，故，故，

又，．