Question

设函数，且（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求实数与的关系；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

⑴⑵（3）

解析:

（Ⅰ）由题意，得，

化简得，.    …………………………………2分

（Ⅱ）函数的定义域为.由（Ⅰ）知，，

. ……………………3分

令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.

（1）当时，，.

在内为单调减函数，故符合条件. ………………………4分

（2）当时，.只需，即时，此时.

在内为单调增函数，故符合条件.  …………………………6分

（3）当时，.只需，此时.

在内为单调减函数，故符合条件.

综上可得, 或为所求.  ………………………………………………………8分

（Ⅲ）在上是减函数，时，；时，.

即. ………………………………………………9分

（1）当时，由（Ⅱ）知，在上递减，，不合题意. ………10分

（2）当时，由知，..

由（Ⅱ）知，当时，单调递增，

，

不合题意. …………………………………………………10分

（3）当时，由（Ⅱ）知在上递增，，

又在在上递减，.

即，.

综上，的取值范围是.…………………………………