Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力． 解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0．               ① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 解得k的取值范围是-2<k<． （2）设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得                  ② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0)．则由FA^FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0． 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+2)=0． 整理得    (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0．③ 把②式及c=代入③式化简得 5k2+-6=0． 解得k=或k=Ï(-2，)（舍去）． 可知k=使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．