题目内容
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，短轴长为
，离心率为
.
(I)求椭圆的方程;
(II) 
为椭圆上满足
的面积为
的任意两点，
为线段
的中点，射线
交椭圆与点
，设
，求实数
的值.
【答案】
(I) 
(Ⅱ)
或
【解析】(I)设椭圆
的方程为
,
由题意知
，解得
因此椭圆的方程为
(II)（1）当
两点关于
轴对称时，
设直线
的方程为
，由题意知
或
，
将代入椭圆方程
得
.
所以
解得
或
.
又
，
因为
为椭圆上一点，所以
，
或
又因为
所以或
（2）当两点关于轴不对称时，
设直线的方程为
，将其代入椭圆方程得
.
设
，由判别式
可得
，
此时
所以
，
因为点
到直线的距离为
，
所以
令
，则
解得
或
，即
或
.
又
，
因为为椭圆上一点，所以
，
即
，所以或
又因为所以或
经检验，适合题意.
综上可知或
【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程，第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论，分别设出直线的方程，通过联立、判断
、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线
的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后，后续运算会多次出现
这一式子，换元简化运算不失为一种好方法，令
，搭建了
与
的桥梁，使坐标的代入运算更为顺畅，使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现.
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