Question

一个口袋中有个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
(1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；
(2)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

Answer 1

（1），（2），(3) .

解析试题分析：（1）求古典概型概率，关键正确计算事件所包含的基本事件. 一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；因此一次摸球中奖的概率.（2）因为每次摸球后把这两个球放回袋中，所以事件为独立重复试验. 由（1）得一次摸球中奖的概率是，所以三次摸球恰有一次中奖的概率是 .(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中奖的概率是，这是三次函数，利用导数求最值. 由知在是增函数，在是减函数，所以当时，取最大值.
试题解析：(1)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，
其中两球颜色相同有种选法；     
∴一次摸球中奖的概率.         4分
(2)若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是.           8分
(3)设一次摸球中奖的概率是，
则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，
∵，
∴在是增函数，在是减函数，
∴当时，取最大值.          10分
由.
∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．         12分
考点：古典概型概率，独立重复实验，利用导数求最值