Question

如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.

(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；

(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.

Answer 1

(1)如图 (2)详见解析

【解析】

试题分析：(1)本题实质为确定截面与上底面的交线，这利用面面平行性质定理，可得交线相互平行:即由平面ABCD//平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，得EF//BD,又 B1B//D1D,从而EF// B1D1 (2)证明面面垂直，一般利用其判定定理，即证线面垂直：由BDA1A，BDAC得到BD平面A1C1CA，从而平面BDFE平面A1C1CA

试题解析：(1)

在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点，则EF为所作的锯线. 2分

在四棱柱中，侧棱B1B//D1D,B1B=D1D，

所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1//BD 4分

又平面ABCD//平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD，平面BDFE平面A1B1C1D1=EF，

所以EF//BD,从而EF// B1D1 7分

(2) 证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BDB1B，又A1A//B1B

所以BDA1A 9分

又四棱柱的底面为菱形，所以BDAC

因为ACA1A=A，AC平面A1C1CA, A1A 平面A1C1CA

所以BD平面A1C1CA 12分

因为BD平面BDFE

所以平面BDFE平面A1C1CA 14分

考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理