Question

已知定义域为R的奇函数f(x)，求证：

(1)f(0)=0；

(2)若在区间[a，b](b＞a＞0)上f(x)有最大值M，那么f(x)在区间[－b，－a]上必有最小值－M．

Answer 1

答案：略
解析：

充分利用奇函数的定义及奇函数图象的特点求解． 证明　(1)f(x)是定义在R上的奇函数， f(－0)=－f(0)， 即f(0)=0，如图． (2)M是f(x)在区间[a，b]上的最大值，则对于任意的，都有f(x)≤M． 任取，于是≤M f(x)是R上的奇函数， ， －，， 即对任意的都有≥－M，成立． f(x)在区间[－b，－a]上的最小值是－M． 利用奇(偶)函数图象的特点是解决某些问题的重要辅助手段．该例题的条件反映到图象上大致是：若[a，b]上，f(x)最大，在图象上表现为点是函数图象在[a，b]上曲线的最高点，由图象的对称性可知，一定是图象在[－b，－a]上曲线的最低点，但图形不能代替推理证明．