Question

【题目】如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的标准方程和准线方程；

（2）若，证明：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设出抛物线的标准方程，将点坐标代入，进而可求出抛物线的标准方程；利用准线的计算方法，即可求出准线方程；

（2）求出直线和直线的方程，分别与抛物线方程联立，求出点和点坐标，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式方程写出直线的方程，并借助，即可求得结果.

（1）设抛物线的标准方程为，，

将代入得，解得，

所以抛物线的标准方程为，准线方程为.

（2）证明：因为直线过点，斜率为，

利用点斜式方程，可得直线的方程为，即，

因为直线过点，斜率为，

利用点斜式方程，可得直线的方程为，即，

联立，消去y得，.

解得或，

因此点

同理可得.

于是直线的斜率

，又，.

所以直线的方程为，

即，

故直线恒过定点.