题目内容
已知在长方体
中，点
为棱
上任意一点，
，
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若点
为棱
的中点，点为棱的中点，求二面角
的余弦值.
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角
的余弦值为
．
解析试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证
平面
，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）
为正方形 
2分
平面
4分
又
，
平面
平面
平面
6分
（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系 7分
设平面
的法向量为
，
9分
设平面
的法向量为
，
11分
13分
二面角的余弦值为 14分
考点：面面垂直，二面角．
练习册系列答案
相关题目
为矩形，
，
，
，
，
.
为
的中点，证明：
面
；
的余弦值.
，连接CE并延长交AD于F.
，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．
中，
⊥平面
，底面
∥
，
，
，点
在棱
上，且
．
时，求证：
∥面
；
所成角为
，求实数
的值．
，其中向量
,三个向量之间的夹角均为
，点
分别在
上且
，
=4，如图
用向量
表示出来，并求
；
用
表示；
与
所成角的余弦值.
-
中，
分别为
的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. 
平面
；
平面
.
，求BD的长度.(15分)