题目内容

已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
与
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
（1）∵向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
∴
a
•
b
= 
3
×
1
2
+(-1)×
3
2
=0，
∴
a
⊥
b
．
（2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
与
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直．
∵向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
∴
a
•
b
=0，
∵
x
=
a
+(t+2s)
b
，
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
，
∴
x
•
y
=[
a
+(t+2s)
b
]•[-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
]
=-k
a
2-k（t+2s）
a
•
b
+（
1
t
+
1
s
）
a
•
b
+（t+2s）（
1
t
+
1
s
）•
b
 2
=-4k+1+
2s
t
+
t
s
+2=0，
∴k=
3+
2s
t
+
t
s
4

≥
3+2
2s
t
• 
t
s
4

=
3+2
2
4
．
∴k的最小值是
3+2
2
4
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(3，1)，
b
=(1，3)，
c
=(k，2)，若(
a
-
c
)⊥
b
则k=
 
．
已知向量
a
=(
3
，1)，
b
=(-1，0)，则向量
a
与
b
的夹角为（　　）
A、
π
6
B、
2π
3
C、
π
2
D、
5π
6
已知向量
a
=(3，2)，
b
=(2，n)，若
a
与
b
垂直，则n=（　　）
已知向量
a
=(-3，4)，
b
=(1，-1)，则向量
a
在
b
方向上的投影为（　　）
已知向量
a
=(-3，4)，
b
=(5，-2)，则|
a
-
b
|=
10
10
．

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