题目内容

数列{a_n}满足a₁=a， $数学公式$ ，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）当 $数学公式$ 时，证明： $数学公式$ ；
（Ⅲ）设数列{a_n-1}的前n项之积为T_n．若对任意正整数n，总有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）因为a_n+1=a_n，所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或a_n=-1（舍去）．
由n的任意性知， $\text{[math]}$ ．（3分）
（Ⅱ）反证法：
假设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
依此类推， $\text{[math]}$ ，， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 矛盾．
所以 $\text{[math]}$ ．（8分）
（Ⅲ）由已知，当n≥2时，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
所以 $\text{[math]}$ ．
同理 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
将上述n-1个式子相乘，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ 对任意n≥2恒成立．
又n=1时，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，
故a₁²≤6×2^n-1+1对任意n∈N^*恒成立．
因为数列{6×2^n-1+1}单调递增，所以a₁²≤6×1+1=7，
即a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）由题意知 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，由n的任意性知， $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）假设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，依此类推， $\text{[math]}$ ，， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 矛盾．所以 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由题设条件知 $\text{[math]}$ ．由此入手能够解出a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．