Question

13．a，b为正数，给出下列命题：
①若a²-b²=1，则a-b＜1；
②若$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=1，则a-b＜1；
③e^a-e^b=1，则a-b＜1；
④若lna-lnb=1，则a-b＜1．
其中真命题的有①③．

Answer 1

分析 不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．

解答 解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，
由a²-b²=（a+b）（a-b）=1，
所以a-b＜1，故①正确．
②中$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-b}{ab}$=1，只需a-b=ab即可，
取a=2，b=$\frac{2}{3}$满足上式但a-b=$\frac{4}{3}$＞1，故②错；
③构造函数y=x-e^x，x＞0，y′=1-e^x＜0，函数单调递减，
∵e^a-e^b=1，∴a＞b，
∴a-e^a＜b-e^b，
∴a-b＜e^a-e^b=1，
故③正确；
④若lna-lnb=1，则a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力．