Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

1

anan=1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，试证明Tn＜

1

2

．

Answer 1

（1）当n=1时，S₁=1²=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1时，a₁=2-1=1，满足通项公式，
∴此数列为等差数列，其通项公式为a_n=2n-1，
（2）证明：b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2