题目内容

方程
x2
sin
2
-sin
3
+
y2
cos
2
-cos
3
=1表示的曲线是（　　）
A、焦点在x轴上的椭圆
B、焦点在x轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆
D、焦点在y轴上的双曲线
分析：先根据三角函数的单调性结合进而利用诱导公式可分别求得即sin
2
＞sin
3
，cos
2
-cos
3
＞0，得出方程表示的曲线是椭圆．最后利用三角函数的单调性得到即sin
2
-sin
3
＜cos
2
-cos
3
．从而曲线表示焦点在y轴上的椭圆．
解答：解：∵
2
+
3
＞π，
∴0＜
π
2
-
2
＜
3
-
π
2
＜
π
2
，
∴cos(
π
2
-
2
)＞cos(
3
-
π
2
)，
即sin
2
＞sin
3
，
又0＜
2
＜
π
2
，
π
2
＜
3
＜π，
∴cos
2
＞0，cos
3
＜0，
∴cos
2
-cos
3
＞0，
方程表示的曲线是椭圆．
∵(sin
2
-sin
3
)-(cos
2
-cos
3
)=2
2
sin
2
-
3
2
sin(
2
+
3
2
+
π
4
）（*）
-
π
2
＜
2
-
3
2
＜0，∴sin
2
-
3
2
＜0，
π
2
＜
2
+
3
2
＜
3π
4
，
∴
3π
4
＜
2
+
3
2
+
π
4
＜π．∴sin(
2
+
3
2
+
π
4
)＞0，∴（*）式＜0．
即sin
2
-sin
3
＜cos
2
-cos
3
．∴曲线表示焦点在y轴上的椭圆，
故选C．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，诱导公式的化简求值，椭圆的简单性质．解题的关键是找到sin
2
-sin
3
＜cos
2
-cos
3
．
练习册系列答案
相关题目
方程
x2
sin2+cos2
-
y2
cos2-sin2
=1所表示的曲线是（　　）
A、焦点在x轴上的椭圆
B、焦点在y轴上的椭圆
C、焦点在x轴上的双曲线
D、焦点在y轴上的双曲线
（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为
x=cosθ
y=sinθ+2
（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是
2
2
．
（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=cos2α
，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=-
2
．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
（2010•马鞍山模拟）已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圆M的参数方程为
x=-2+2cosθ
y=-1+2sinθ
（θ为参数），则圆M上的点到直线l的最短距离为
2（
2
-1）
2（
2
-1）
．
（2011•朝阳区三模）若直线l的参数方程为
x=1-
3
5
t
y=
4
5
t
（t为参数），则直线l的斜率为
-
4
3
-
4
3
；在极坐标系中，直线m的方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，则点A(2，
7π
4
)到直线m的距离为
2
2
2
2
．

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