Question

3．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则当它们的实、虚轴都在变化时，e₁²+e₂²的最小值是4．

Answer 1

分析 求出e₁²+e₂²，利用基本不等式，求出e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：∵e₁²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$，e₂²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$，∴e₁²+e₂²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$=2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥2+2=4
（当且仅当a=b时等号成立）．
∴当它们的实、虚轴都在变化时，e₁²+e₂²的最小值是4．
故答案为：4．

点评 本题给出共轭双曲线的概念，叫我们判断关于共轭双曲线的离心率的几个式的正确性．着重考查了双曲线的基本概念和基本不等式求最值等知识，属于中档题．