Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，前n项和Sn=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想出通项a_n，并证明．

Answer 1

（1）由已知得n=1时，a₁=1，n=2时a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，所以a2=

2

-1，n=3时，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)解得，a3=

3

-

2

．
（2）猜想an=

n

-

n-1

（n∈N^*）．
证明：①当n=1时，由上可知命题成立；
②假设n=k时命题成立，即ak=

k

-

k-1

成立．
由Sk+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)=Sk+ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)+ak+1得

1

ak+1

-ak+1=ak+

1

ak

．
代入假设，得

a

2k+1

+2

k

ak+1-1=0，
∴ak+1=-

k

±

k+1

．
∵a_k+1＞0，
∴ak+1=

k+1

-

k

．
∴n=k+1时也成立．
综合①②知an=

n

-

n-1

对任意n∈N^*都成立．