Question

已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c，两向量

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)满足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin2A+cos

C-3A

2

的最大值以及此时角A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两向量的坐标，由两向量垂直时数量积为0列出关系式，变形后利用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简，可得出sinB的值，由三角形为锐角三角形可得出B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数，得到A+C的度数，用A表示出C，代入所求的式子中，第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质可得出正弦函数的值域，进而确定出函数的最大值，以及此时A的度数．

解答：解：（Ⅰ）∵

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)，且

m

⊥

n

，
∴（a²+c²-b²）tanB-

3

ac=0，即

a2+c2-b2

2ac

•tanB=

3

2

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，tanB=

sinB

cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B为锐角，∴B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
则y=2sin²A+cos

C-3A

2

=2sin²A+cos（

π

3

-2A）
=1-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+1=sin（2A-

π

6

）+1，…（9分）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴当2A-

π

6

=

π

2

时，即A=

π

3

时，函数的最大值为2．…（12分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．