Question

已知圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-2=0对称；
（1）求圆C₂的方程，
（2）过点（2，0）作圆C₂的切线l，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），求出点M关于直线x-y-2=0的对称点为N（y+2，x-2），再将N坐标代入圆C₁的方程，化简即可得到圆C₂的方程；
（2）由（1）得圆C₂的圆心为（3，-3），半径r=1．当直线l与圆C₂相切时，点C₂到直线l的距离等于半径r，由此设出直线方程，利用点到直线的距离公式加以计算，即可得到所求切线l的方程．

解答：解：（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），此点关于直线x-y-2=0的对称点为N（m，n）
则

y-m x-n =-1 1 2 (x+m)- 1 2 (y+n)-2=0

，解得

m=y+2 n=x-2

，
∵点N（m，n）即N（y+2，x-2）在圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，
∴（y+2+1）²+（x-2-1）²=1，
化简得（x-3）²+（y+3）²=1，即为圆C₂的方程；
（2）设经过点（2，0）圆C₂的切线l方程为y=k（x-2），
∵圆C₂的方程为（x-3）²+（y+3）²=1，
∴圆心为C₂（3，-3），半径r=1．
∵直线l与圆C₂相切，
∴点C₂到直线l的距离等于半径，即

|3k+3-2k|

k2+1

=1，
解之得k=-

4

3

，得切线l方程为y=-

4

3

（x-2），化简得4x+3y-8=0；
当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，也满足直线l与圆C₂相切．
综上所述，可得点（2，0）的圆C₂的切线l方程为x=2或4x+3y-8=0．

点评：本题求一个圆关于定直线对称的圆的方程，并求过定点的圆的切线．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．