Question

已知，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是．
（1）求证点P的纵坐标是定值； 
（2）若数列{a_n}的通项公式是（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m； 
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，x₁+x₂=1，故y₁+y₂=+，由此能够证明点P的纵坐标是定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m=，利用倒序相加法能够求出数列{a_n}的前m项和S_m．
（3）由，得12a^m（-）＜0对m∈N⁺恒成立．由此利用分类讨论思想能够求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由知，x₁+x₂=1，则
y₁+y₂=+
=+
=+
=，
故点P的纵坐标是，为定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m
=，
又S_m=a_m-1+a_m-2+…+a₁+a_m
=f（）+f（）+…+f（）+f（1）
二式相加，得
++…+，
因为，…m-1），故，
又f（1）==，从而．（12分）
（3）由，
得12a^m（-）＜0…①对m∈N⁺恒成立．
显然，a≠0，
（ⅰ）当a＜0时，由，得a^m＜0．
而当m为偶数时a^m＜0不成立，所以a＜0不合题意；
（ⅱ）当a＞0时，因为a^m＞0，
则由式①得，．
又随m的增大而减小，
所以，当m=1时，1+有最大值，故a．（18分）
点评：本题考查点的纵坐标是定值的证明，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意倒序相加法、分类讨论思想的灵活运用．