Question

已知数列a_n是首项为1，公比为2的等比数列，f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*）则f（n）=______．

Answer 1

∵数列a_n是首项为1，公比为2的等比数列，
∴f（n）=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_kC_n^k+…+a_nC_nⁿ（n∈N^*）
=1×C_n¹+2×C_n²+…+2^k-1C_n^k+…+2^n-1C_nⁿ
=

1

2

（2×C_n^n-1+2²×C_n^n-2+…+2^kC_n^n-k+…+2ⁿC_n⁰）
=

1

2

（1×C_nⁿ+2×C_n^n-1+2²×C_n^n-2+…+2^kC_n^n-k+…+2ⁿC_n⁰）-

1

2

=

1

2

（1+2）ⁿ-

1

2

=

3n-1

2

故答案为

3n-1

2